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\section*{Relationen}

Sei $R := A \times B$ eine Relation.

\subsubsection*{Linkstotal}
$\forall a \in A \exists b \in B : (a,b)  \in R$

\subsubsection*{Rechtstotal / Surjektiv}
$\forall b \in B \exists a \in A : (a,b) \in R \text{ bzw. } f(a)=b$

\subsubsection*{Linkseindeutig / Injektiv}
$\forall a_1, a_2 \in A \forall b \in B :$ \newline
\hspace*{5mm} $(a_1,b) \in R \land (a_2,b) \in R \implies a_1=a_2$

\subsubsection*{Rechtseindeutig}
$\forall a \in A \forall b_1, b_2 \in B:$ \newline
\hspace*{5mm} $(a,b_1) \in R \land (a,b_2) \in R \implies b_1=b_2$

\subsection*{Eigenschaften von Relationen}

\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=25mm]
	\item[reflexiv] $\forall x \in M : (x, x) \in R$
	\item[symmetrisch] $\forall x, y \in M : xRy \Leftrightarrow yRx$
	\item[antisymmetrisch] $\forall x, y \in M : xRy \land yRx \Rightarrow x=y$
	\item[transitiv] $\forall x, y, z \in M : xRy \land yRz \Rightarrow xRz$
\end{description}

\subsection*{Äquivalenzrelationen}

Eine Relation $R$ auf Menge $M$ ist Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

\section*{Gruppen}

$\star : M \times M \rightarrow M$ ist Verknüpfung auf Menge $M$ abhängig der Argument-Reihenfolge. Das Tupel $(M, \star)$ ist Gruppe, wenn:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $\star$ ist assoziativ
	\item $\exists e \in M \forall x \in M : x \star e = e \star x = x$
	\item $\forall x \in M \exists y \in M : x \star y = y \star x = e$
\end{enumerate}

Ist $\star$ kommutativ, dann $(M, \star)$ abelsche Gruppe.

\subsection*{Assoziativität}

$\forall m_1, m_2, m_3 \in M : (m_1 \star m_2) \star m_3 = m_1 \star (m_2 \star m_3)$

\subsection*{Kommutativität}

$\forall m_1, m_2 \in M : m_1 \star m_2 = m_2 \star m_1$

\subsection*{Untergruppen}

$(M, \star)$ ist Gruppe. $(H, \circ)$ ist Untergruppe, wenn:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $H \subseteq M$
	\item $(H, \circ)$ ist Gruppe
	\item $\forall h_1, h_2 \in H : h_1 \circ h_2 = h_1 \star h_2$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Untergruppenkriterium}

$H \subseteq G$ ist Untergruppe von $G$ wenn:

$H \neq \emptyset \land \forall h_1, h_2 \in H : h_1 \star h_2^{-1} \in H$

\subsection*{Gruppenhomomorphismen}

Seien $(G, \star)$ und $(H, \circ)$ Gruppen. $f: G \rightarrow H$ ist Gruppenhomomorphismus wenn:

$\forall g_1, g_2 \in G: f(g_1 \star g_2) = f(g_1) \circ f(g_2)$

\subsubsection*{Eigenschaften von Homomorphismen}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $f(e_G) = e_H$
	\item $\forall g \in G : f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$
	\item $f(G)$ ist Untergruppe von $H$
	\item $f \in Hom(G, H)$ ist genau dann injektiv, wenn $Kern(f) = \{e_G\}$
\end{enumerate}

\subsection*{Weitere Homomorphismen}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $f : G \rightarrow G$ ist Endomorphismus
	\item Bijektives $f: G \rightarrow H$ ist Isomorphismus
	\item Bijektives $f \in End(V)$ ist Automorphismus
\end{enumerate}

\section*{Ringe}

$(R, +, *)$ ist Ring, wenn:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $(R, +)$ ist abelsche Gruppe
	\item $*$ ist assoziativ
	\item $\forall x \in R : 1_R * x = x * 1_R = x$
	\item $x*(y+z) = (x*y)+(x*z)$
	\item $(y+z)*x = (y*x)+(z*x)$
\end{enumerate}

Ist $*$ kommutativ, $(R, +, *)$ ein kommutativer Ring.

\subsection*{Teilringe}

Unter $+$ und $*$ geschlossene Teilmenge $T \subseteq R$ ist Teilring von $R$.

\subsection*{Ringhomomorphismen}

$\phi : R \rightarrow S$ ist Ringhomomorphismus, wenn:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $\forall x, y \in R : \phi(x +_R y) = \phi(x) +_S \phi(y)$
	\item $\forall x, y \in R : \phi(x *_R y) = \phi(x) *_S \phi(y)$
	\item $\phi(1_R) = 1_S$
\end{enumerate}

\section*{Körper}

Ein Körper ist kommutativer Ring $K$ mit $0_K \neq 1_K$ und für den jedes $x \neq 0_K$ invertierbar ist.

\section*{Matrizen}

\subsection*{Invertierbare Matrizen}

Für einen kommutativen Ring $R$ ist die "general linear Group":

$GL_p(R) := \{ A \in R^{p \times p} | \exists B \in R^{p \times p} : AB = BA = I_p \}$

Die Matrizen in $GL_p(R)$ heißen invertierbare / reguläre Matrizen.

\subsection*{Elementarmatrizen}

$$R^{2 \times 3} \ni E_{2,3} = \begin{pmatrix}
	0 & 0 & 0 & 0 \\
	0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$

\subsection*{Äquivalenz von Matrizen}

$\exists S \in GL_q(K), T \in GL_p(K) : B = T A S$ ($A, B \in K^{p \times q}$)

\subsection*{Ähnlichkeit von Matrizen}

$A, \tilde A \in K^{d \times d}$ ähnlich $\Leftrightarrow \exists S \in GL_d(K) : \tilde A = S^{-1}AS$

\subsection*{Determinante}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A \text{ ist invertierbar}$
	\item $det(A*B) = det(A) * det(B)$
	\item $det(A)^{-1} = det(A)^{-1}$ falls $A \in GL_n(K)$
	\item $det(A) = det(A^T)$
\end{enumerate}

\subsubsection*{Determinante von Blockmatrizen}

$$det(\begin{pmatrix}
	A & B \\
	0 & C
\end{pmatrix}) = det(A) * det(C)$$

\section*{Vektorräume}

Ein $K$-Vektorraum ist kommutative Gruppe $(V, +)$ mit skalarer Multiplikation $* : K \times V \rightarrow V, (a, v) \mapsto a * v$ sowie:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $\forall v \in V : 1_K * v = v$
	\item $\forall a, b \in K \forall v \in V : a*(b*v)=(a*b)*v$
	\item $\forall a, b \in K \forall u, v \in V : a*(u+v)=a*u+a*v$
	\item $\forall a, b \in K \forall u, v \in V : (a+b)*v=a*v+b*v$
\end{enumerate}

\subsection*{Untervektorräume}

$K$-Untervektorraum $U$ von $V$ ist Teilmenge $U \subseteq V$ die bzgl. Addition Untergruppe von $V$ ist und für die gilt:

$\forall a \in K, u \in U : a*u \in U$ (d.h. skalare Multiplikation geschlossen)

\subsubsection*{Untervektorraumkriterium}

Seien $K$ Körper, $V$ $K$-Vektorraum und $U \subseteq V$. Dann ist äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $U$ ist Untervektorraum von $V$
	\item $U \neq \emptyset$, $\forall u_1, u_2 \in U : u_1 + u_2 \in U$ und $\forall a \in K, u \in U : a*u \in U$
\end{enumerate}

\subsubsection*{$\phi$-invariante Unterräume}

$U \subset V$ ist $\phi$-invariant, wenn $\phi(U) \subset U$.

\subsection*{Homomorphismen}

Seien $V, W$ zwei $K$-Vektorräume. $\phi : V \rightarrow W$ ist Vektorraumhomomorphismus respektive $K$-lineare Abbildung, wenn:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $\forall u, v \in  V : \phi(u+v) = \phi(u)+\phi(v)$
	\item $\forall a \in K, v \in V : \phi(a*v) = a*\phi(v)$
\end{enumerate}

$Rang(\phi) := dim(Bild(\phi))$ mit $\phi \in Hom(V, W)$

\subsection*{Dualräume}

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Die Menge aller linearen Abbildungen $V \rightarrow K$ ist der Dualraum: $V^* := \{f: V \rightarrow K | f \text{ ist linear}\}$.

$f \in V^*$ werden als Linearformen bezeichnet.

\subsection*{Basen}

Teilmenge $B \subseteq V$ ist Basis von $V$, wenn sich $\foral