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authorAdrian Kummerlaender2018-07-25 11:30:00 +0200
committerAdrian Kummerlaender2018-07-25 11:30:00 +0200
commit87d0a78f1ec2c6737d84c91218d5508cb55acbf3 (patch)
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Add Lipschitz continuity definition to ODE digest
-rw-r--r--content/dgl.tex20
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index 4df25c7..0aaa929 100644
--- a/content/dgl.tex
+++ b/content/dgl.tex
@@ -4,15 +4,25 @@ Seien \(\J \subseteq \R\) ein Intervall, \(t_0 \in \J\) mit \(t_0 < \sup \J\), \
\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
- u'(t) &= f(t, u(t)), t\geq t_0, t\in \J \\
+ u'(t) &= f(t, u(t)), \ t \geq t_0, \ t\in \J \\
u(t_0) &= u_0
\end{align*}
-Für das Anfangswertproblem wird ein \(t_1 \in \J\) mit \(t_1 > t_0\) und eine eindeutige Lösung \(u \in C^1([t_0, t_1], \R^m)\) auf \([t_0, t_1]\) gesucht.
+Für das AWP wird ein \(t_1 \in \J\) mit \(t_1 > t_0\) und eine Lösung \(u \in C^1([t_0, t_1], \R^m)\) auf \([t_0, t_1]\) gesucht.
-\subsection*{Lokale Lipschitzstetigkeit im Kontext}
+\subsection*{Lipschitz-Stetigkeit}
-Sei \(f \in C(\J \times D, \R^k)\), \(D \subseteq \R^m\) offen und es ex. alle \(\frac{\partial}{\partial x_j} f \in C(\J \times D, \R^k)\) für \(j \in \{1, \hdots, m\}\).
+\[\exists L > 0 \forall x_1, x_2 \in \R^m : \|f(x_1)-f(x_2)\| \leq L \|x_1-x_2\|\]
+
+\subsection*{Lokale Lipschitz-Stetigkeit}
+
+\[\exists \delta > 0 \exists L > 0 \forall \overline{x} \in U_\delta(x) : \|f(x)-f(\overline{x})\| \leq L \|x-\overline{x}\|\]
+
+\subsection*{Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit}
+
+Sei \(f \in C(\J \times D, \R^k)\), \(D \subseteq \R^m\) offen und:
+
+\(\forall j \in \{1,\dots,m\} \exists \partial_{x_j} f \in C(\J \times D, \R^k)\)
Dann ist \(f\) lokal Lipschitz in \(x\).
@@ -43,7 +53,7 @@ Sei \(u'(t)=g(t)h(u(t))\) mit \(u(t_0)=u_0\) ein AWP mit \(g \in C(\R)\), \(h \i
\subsection*{Lemma von Grönwall}
-Seien \(b \in [0,\infty], \phi \in C([0,b),\R)\) und \(\alpha, \beta \geq 0\).
+Seien \(b \in [0,\infty], \ \phi \in C([0,b),\R)\) und \(\alpha, \beta \geq 0\).
\[\psi(t) := \alpha + \beta \int_0^t \phi(s) ds \text{ für } t \in [0,b)\]
Weiter gelte \(\phi \leq \psi\) auf \([0,b)\). Dann gilt:
\[\forall t \in [0,b) : \phi(t) \leq \alpha \exp(\beta t)\]