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diff --git a/content/dgl.tex b/content/dgl.tex index 4df25c7..0aaa929 100644 --- a/content/dgl.tex +++ b/content/dgl.tex @@ -4,15 +4,25 @@ Seien \(\J \subseteq \R\) ein Intervall, \(t_0 \in \J\) mit \(t_0 < \sup \J\), \ \vspace*{-4mm} \begin{align*} - u'(t) &= f(t, u(t)), t\geq t_0, t\in \J \\ + u'(t) &= f(t, u(t)), \ t \geq t_0, \ t\in \J \\ u(t_0) &= u_0 \end{align*} -Für das Anfangswertproblem wird ein \(t_1 \in \J\) mit \(t_1 > t_0\) und eine eindeutige Lösung \(u \in C^1([t_0, t_1], \R^m)\) auf \([t_0, t_1]\) gesucht. +Für das AWP wird ein \(t_1 \in \J\) mit \(t_1 > t_0\) und eine Lösung \(u \in C^1([t_0, t_1], \R^m)\) auf \([t_0, t_1]\) gesucht. -\subsection*{Lokale Lipschitzstetigkeit im Kontext} +\subsection*{Lipschitz-Stetigkeit} -Sei \(f \in C(\J \times D, \R^k)\), \(D \subseteq \R^m\) offen und es ex. alle \(\frac{\partial}{\partial x_j} f \in C(\J \times D, \R^k)\) für \(j \in \{1, \hdots, m\}\). +\[\exists L > 0 \forall x_1, x_2 \in \R^m : \|f(x_1)-f(x_2)\| \leq L \|x_1-x_2\|\] + +\subsection*{Lokale Lipschitz-Stetigkeit} + +\[\exists \delta > 0 \exists L > 0 \forall \overline{x} \in U_\delta(x) : \|f(x)-f(\overline{x})\| \leq L \|x-\overline{x}\|\] + +\subsection*{Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit} + +Sei \(f \in C(\J \times D, \R^k)\), \(D \subseteq \R^m\) offen und: + +\(\forall j \in \{1,\dots,m\} \exists \partial_{x_j} f \in C(\J \times D, \R^k)\) Dann ist \(f\) lokal Lipschitz in \(x\). @@ -43,7 +53,7 @@ Sei \(u'(t)=g(t)h(u(t))\) mit \(u(t_0)=u_0\) ein AWP mit \(g \in C(\R)\), \(h \i \subsection*{Lemma von Grönwall} -Seien \(b \in [0,\infty], \phi \in C([0,b),\R)\) und \(\alpha, \beta \geq 0\). +Seien \(b \in [0,\infty], \ \phi \in C([0,b),\R)\) und \(\alpha, \beta \geq 0\). \[\psi(t) := \alpha + \beta \int_0^t \phi(s) ds \text{ für } t \in [0,b)\] Weiter gelte \(\phi \leq \psi\) auf \([0,b)\). Dann gilt: \[\forall t \in [0,b) : \phi(t) \leq \alpha \exp(\beta t)\] |