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authorAdrian Kummerlaender2017-03-18 21:51:04 +0100
committerAdrian Kummerlaender2017-03-18 21:51:04 +0100
commit920d07824835ee2c1d1b8eef8cc0b4adef8b3a4c (patch)
tree2fa9d3e10c8b654b41de6b599355d38f8b75be7e /content
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-rw-r--r--content/analysis_3.tex9
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index 6ce2b80..79263f0 100644
--- a/content/analysis_3.tex
+++ b/content/analysis_3.tex
@@ -355,7 +355,7 @@ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt auch für das Lebesgue
Mengen $N \in \A$ mit $\mu(N) = 0$ heißen Nullmengen.
-Die rationalen Zahlen $\Q$ und die Cantor-Menge sind $\lambda_1$-Nullmengen, Hyperebenen in $\R^m$ sind $\lambda_m$-Nullmengen.
+Die rationalen Zahlen $\Q$ sind eine $\lambda_1$-Nullmenge, Hyperebenen in $\R^m$ sind $\lambda_m$-Nullmengen.
\subsubsection*{Eigenschaften von Nullmengen}
@@ -367,7 +367,7 @@ Die rationalen Zahlen $\Q$ und die Cantor-Menge sind $\lambda_1$-Nullmengen, Hyp
\item $\lambda_m$-Nullmenge hat keinen inneren Punkt
\end{enumerate}
-Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \in$ Nullmenge $N : M \in \A$.
+Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \subseteq$ Nullmenge $N : M \in \A$.
\vspace{2mm}
@@ -388,7 +388,7 @@ Sei $f_n : X \to [0,\infty]$ für alle $n \in \N$ mb. Dann:
\vspace{-2mm}
$$\int_X \liminf_{n \to \infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$
-Konvergiert $f_n$ fast überall gegen messbares $f : X \to [0,\infty]$, dann:
+Konvergiert $f_n$ f.ü. gegen mb. $f : X \to [0,\infty]$:
\vspace{-2mm}
$$\int_X f d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$
@@ -397,7 +397,7 @@ $$\int_X f d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$
Sei $f, f_n : X \to \overline\R$ messbar und $g : X \to [0,\infty]$ integrierbar. Konvergiere $(f_n)$ in $\overline\R$ f.ü. gegen $f$ und $\forall n \in \N : |f_n| \leq g$ f.ü.
-Dann sind $f$ und $f_n$ für alle $n \in \N$ integrierbar und:
+Dann sind $f$ und $f_n$ für $\forall n \in \N$ integrierbar und:
\vspace{-4mm}
\begin{align*}
@@ -556,6 +556,7 @@ $$\L^p(X,\A,\mu) := \{ f : X \to \R | f \text{ mb.}, \|f\|_p < \infty\}$$
Sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ mit:
+\vspace{-4mm}
$$p' = \begin{cases}
\frac{p}{p-1} & p \in (1, \infty) \\
\infty & p = 1 \\