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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 6ce2b80..79263f0 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -355,7 +355,7 @@ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt auch für das Lebesgue Mengen $N \in \A$ mit $\mu(N) = 0$ heißen Nullmengen. -Die rationalen Zahlen $\Q$ und die Cantor-Menge sind $\lambda_1$-Nullmengen, Hyperebenen in $\R^m$ sind $\lambda_m$-Nullmengen. +Die rationalen Zahlen $\Q$ sind eine $\lambda_1$-Nullmenge, Hyperebenen in $\R^m$ sind $\lambda_m$-Nullmengen. \subsubsection*{Eigenschaften von Nullmengen} @@ -367,7 +367,7 @@ Die rationalen Zahlen $\Q$ und die Cantor-Menge sind $\lambda_1$-Nullmengen, Hyp \item $\lambda_m$-Nullmenge hat keinen inneren Punkt \end{enumerate} -Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \in$ Nullmenge $N : M \in \A$. +Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \subseteq$ Nullmenge $N : M \in \A$. \vspace{2mm} @@ -388,7 +388,7 @@ Sei $f_n : X \to [0,\infty]$ für alle $n \in \N$ mb. Dann: \vspace{-2mm} $$\int_X \liminf_{n \to \infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$ -Konvergiert $f_n$ fast überall gegen messbares $f : X \to [0,\infty]$, dann: +Konvergiert $f_n$ f.ü. gegen mb. $f : X \to [0,\infty]$: \vspace{-2mm} $$\int_X f d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$ @@ -397,7 +397,7 @@ $$\int_X f d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$ Sei $f, f_n : X \to \overline\R$ messbar und $g : X \to [0,\infty]$ integrierbar. Konvergiere $(f_n)$ in $\overline\R$ f.ü. gegen $f$ und $\forall n \in \N : |f_n| \leq g$ f.ü. -Dann sind $f$ und $f_n$ für alle $n \in \N$ integrierbar und: +Dann sind $f$ und $f_n$ für $\forall n \in \N$ integrierbar und: \vspace{-4mm} \begin{align*} @@ -556,6 +556,7 @@ $$\L^p(X,\A,\mu) := \{ f : X \to \R | f \text{ mb.}, \|f\|_p < \infty\}$$ Sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ mit: +\vspace{-4mm} $$p' = \begin{cases} \frac{p}{p-1} & p \in (1, \infty) \\ \infty & p = 1 \\ |