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diff --git a/content/funktheo.tex b/content/funktheo.tex index e83bcc5..be1675f 100644 --- a/content/funktheo.tex +++ b/content/funktheo.tex @@ -11,9 +11,12 @@ $$z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ wobei $r := \sqrt{x^2 + y^2}$. Es gilt für die orthogonale Matrix $D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}$: $\det D = 1$ d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung. -Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und Offenheitseigenschaften: +\vspace*{1mm} + +Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und \ Offenheitseigenschaften: -$\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$. +\spacing +$\displaystyle\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \displaystyle\lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \\ \hspace*{26.8mm} \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$ \subsection*{Polardarstellung} @@ -35,7 +38,8 @@ $z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}$. Eine Funktion $f : D \to \C$ ist \emph{komplex differenzierbar} in $z_0 \in D$, wenn: -$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C$ existiert. +\vspace*{-4mm} +$$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C \text{ existiert.}$$ Ist $f$ in $\forall z_0 \in D$ komplex differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $D$ mit Ableitung $f' : D \to \C$. @@ -113,9 +117,6 @@ Entsprechend ist $f(z)=\overline z$ nirgends komplex differenzierbar, $f(z)=|z|^ Sind $U, V \subseteq \C$ offen und nichtleer, $f : U \to V$ bij., $f$ und $f^{-1}$ holomorph. Dann heißt $f$ \emph{biholomorph}, $U$ und $V$ \emph{konform äquivalent}. -\vfill\null -\columnbreak - Sei $f : U \to V$ biholomorph, $z \in U$. Dann ist $f'(z) \neq 0$ und für $w = f(z)$ gilt: @@ -195,6 +196,12 @@ Sind die \emph{vertikalen und horizontalen Streifen} in $\C$. \spacing +$exp : S_r(a_1,a_2) \to B(0,e^{a_2}) \setminus \overline B(0,e^{a_1})$ ist surjektiv. + +$exp : S_i(b_1,b_2) \to \{ \omega = te^{i\phi} | t > 0, \phi \in (b_1,b_2) \}$ ist bijektiv. + +\spacing + Der \emph{Hauptzweig des Logarithmus} ist die Abbildung $\log = (\restrictedto{\exp}{s_i})^{-1} : \Sigma_\pi \to S_i$. $\forall w \in \Sigma_\pi : z = \log(w)$ ist eind. $z \in S_i$ mit $\exp(z) = w$. @@ -281,9 +288,9 @@ $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konv. glm. auf $\Gamma$ \vspace*{-2mm} $$\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n dz$$ -Abbildung $H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)$ +\columnbreak -\spacing +Abbildung $H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)$ $z \mapsto h(z,w) \in H(D)$ mit $\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)$ @@ -328,6 +335,8 @@ Seien $D$ sternförmiges Gebiet, $f \in H(D)$ und $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ ges \vspace*{-2mm} $$\int_\gamma f dz = 0$$ +Dies gilt auch für $f \in C(D,\C) \cap H(D\setminus \{\omega_0\})$. + \subsubsection*{Cauchys Integralformeln} Seien $f \in H(D), \overline B(z_0,r) \subseteq D, n \in \N_0, z \in B(z_0,r)$ und $s := |z-z_0| < r$. Sei $\partial B(z_0,r)$ durch $\gamma(t) = z_0 + re^{it}$ mit $t \in [0,2\pi]$ parametrisiert. @@ -360,7 +369,7 @@ Sei $f \in H(D)$. Dann ist $f$ analytisch. Für $\forall z_0 \in D$ sei $R(z_0) := \sup\{r > 0 | B(z_0,r) \subseteq D \}$ der maximale Redius. Zusätzlich sei $\overline r, r \in (0,R(z_0))$. Für $z \in B(z_0, R(z_0)$ ist die Taylorreihe von $f$: -\vspace*{-4mm} +\vspace*{-6mm} \begin{align*} f(z) &= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \\ a_n &= \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw @@ -413,11 +422,6 @@ Sei $D \subseteq \C$ Gebiet und $f \in H(D)$. Dann sind äquiv.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $f = 0$ auf $D$ \item $\exists z_0 \in D \forall n \in \N_0 : f^{(n)}(z_0) = 0$ -\end{enumerate} - -\columnbreak - -\begin{enumerate}[label=(\alph*),resume] \item $\exists z_n, z_0 \in D \forall n \in N : f(z_n) = 0 \land z_n \neq z_0$ \\ Weiterhin gilt $z_n \to z_0 \ (n \to \infty)$ \end{enumerate} @@ -441,6 +445,10 @@ Sei $f \in H(D), U \subseteq \C$ Gebiet mit $D \subseteq U$. Dann $\exists! g \in H(U) : \restrictedto{g}{D} = f$. +\spacing + +Die \emph{Gammafunktion} $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt, Re \ z > 0$ hat genau eine holomorphe Fortsetzung auf der Menge $\C \setminus \{ -n | n \in \N_0 \}$. + \subsection*{Nullstelle in $B(z_0,r)$} Sei $f \in H(D), B := B(z_0,r), r > 0, \overline B \subseteq D$. Weiter: @@ -542,8 +550,6 @@ Sei $f \in H(D)$ injektiv. Dann ist $f(D) \subseteq \C$ offen und $f$ ist biholomorph. -\columnbreak - \subsection*{Laurentreihe} Sei $a_n \in \C$ für $n \in \Z$ und $c \in \C$. @@ -601,8 +607,6 @@ Hierbei gelte $\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D$. Seien $f \in H(D)$ und $z_1, \dots, z_n \in \C$ alle isolierten Singularitäten von $f$. Sei $p$ ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in $D$ mit Bild $P$ s.d. alle $z_j$ im von $P$ umschlossenen Gebiet $G$ liegen und $\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D$ ist. Weiterhin sei $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ zu $p$ auf $D$ homotop. Dann: -\columnbreak - \vspace*{-4mm} $$\int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j)$$ diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex index 048419c..9298ae9 100644 --- a/content/markov.tex +++ b/content/markov.tex @@ -295,3 +295,59 @@ Sei $K$ irreduzible, symmetrische Übergangsmatrix auf $S$. Wählen $P = (p_{ij} $$p_{ij} = \begin{cases} K_{ij}\left(\frac{\pi(j)}{\pi(i)} \land 1\right) & i \neq j \\ 1 - \sum_{k \neq i} K_{ik}\left(\frac{\pi(j)}{\pi(i)} \land 1\right) & i=j \end{cases}$$ Dann besitzt die MK mit Übergangsmatrix $P$ die stationäre Verteilung $\pi$. + +\section*{Markov-Ketten in stetiger Zeit} + +Sei $(N_t)_{t\geq 0}$ Familie messbarer Zufallsvariablen $N_t : \Omega \to \N_0$. Diese bildet \emph{stochastischen Prozess in stetiger Zeit}. + +\subsection*{Poisson-Prozess} + +Die Familie $(N_t)_{t\geq 0}$ erfülle: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item Alle Pfade $t \mapsto N(t,\omega)$ liegen in $D_0 := \{ f : [0,\infty) \to \N_0 | f(0) = 0, f \uparrow, f \text{ rechtsstetig}\}$. + \item $(N_t)_{t\geq0}$ hat unabhängige Zuwächse: $\forall n \in \N \\ \forall 0 \leq t_0 \leq \cdots \leq t_n$ sind $N_{t_0}, N_{t_1}-N_{t_0}, \dots, \\ N_{t_n}-N_{t_{n-1}}$ stochastisch unabhängig + \item $(N_t)_{t\geq0}$ hat stationäre Zuwächse d.h. $\forall t > 0$ ist Verteilung $N_{s+t}-N_s$ von $s$ unabhängig + \item Ereigniss treten einzeln auf d.h.: \\ $\P(N_h \geq 2) = o(h)$ mit $h \downarrow 0$ +\end{enumerate} + +$(N_t)$ hat mit Wahrscheinlichkeit $1$ nur Sprünge der Höhe $1$ und: $\exists \lambda > 0 \forall s, t \geq 0 : N_{s+t}-N_s$ ist Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda t$. Die Zeiten zwischen konsekutiven Sprüngen sind unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter $\lambda$. + +Der Prozess $(N_t)$ heißt \emph{Poisson-Prozess} mit $\lambda > 0$. + +\subsection*{Markov-Eigenschaft} + +Ein stochastischer Prozess $(X_t)_{t\geq0}$ mit abzählbarem Zustandsraum $S$ heißt \emph{(homogene) Markov-Kette}, wenn: + +$\forall n \in \N$, $t, h > 0, i_k \in S$ sowie $\forall 0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n$ mit $\P(X_{t_k} = i_k, 0 \leq k \leq n) > 0 : $ + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +&\P(X_{t_n+h} = i_{n+1} | X_{t_k} = i_k, 0 \leq k \leq n) \\ +&= \P(X_{t_n+h} = i_{n+1} | X_{t_n} = i_n) \\ +&= \P(X_{t+h} = i_{n+1} | X_t = i_n) +\end{align*} + +\subsection*{Intensitätsmatrix} + +Sei $\{P(t), t \geq 0\}$ eine \emph{Standardübergangsmatrizen-funktion}. Dann sind alle $p_{ij}(t)$ in $0$ rechtseitig differenzierbar d.h.: $\forall i, j \in S :$ + +\vspace*{-2mm} +$$q_{ij} := \lim_{t\downarrow0} \frac{1}{t} (p_{ij}(t) - \delta_{ij})$$ + +Die Matrix $Q := (q_{ij})$ ist die \emph{Intensitätsmatrix} bzw. der \emph{infinitesimale Erzeuger} von $\{P(t),t \geq 0\}$. + +\subsubsection*{Intensitätsmatrix des Poisson-Prozesses} + +Für einen Poisson-Prozess $(N_t)$ ergibt sich die Übergangsmatrizenfunktion: + +$$p_{ij}(t) = \begin{cases} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{j-i}}{(j-i)!} & j \geq i \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$$ + +Demenstsprechend gilt: + +\vspace*{-4mm} +$$\lim_{t\downarrow0} \frac{1}{t} (p_{ij}(t) - \delta_{ij}) = \begin{cases} \lambda & j = i+1 \\ -\lambda & j=i \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$$ + +Die Intensitätsmatrix des Poisson-Prozesses: + +$$Q = \begin{pmatrix} -\lambda & \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & -\lambda & \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & -\lambda & \lambda & \\ \vdots & \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}$$ |