Start section on Markov chains in continuous time

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index e83bcc5..be1675f 100644
--- a/content/funktheo.tex
+++ b/content/funktheo.tex
@@ -11,9 +11,12 @@ $$z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\
 
 wobei $r := \sqrt{x^2 + y^2}$. Es gilt für die orthogonale Matrix $D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}$: $\det D = 1$ d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung.
 
-Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und Offenheitseigenschaften:
+\vspace*{1mm}
+
+Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und \ Offenheitseigenschaften:
 
-$\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$.
+\spacing
+$\displaystyle\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \displaystyle\lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \\ \hspace*{26.8mm} \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$
 
 \subsection*{Polardarstellung}
 
@@ -35,7 +38,8 @@ $z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}$.
 
 Eine Funktion $f : D \to \C$ ist \emph{komplex differenzierbar} in $z_0 \in D$, wenn:
 
-$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C$ existiert.
+\vspace*{-4mm}
+$$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C \text{ existiert.}$$
 
 Ist $f$ in $\forall z_0 \in D$ komplex differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $D$ mit Ableitung $f' : D \to \C$.
 
@@ -113,9 +117,6 @@ Entsprechend ist $f(z)=\overline z$ nirgends komplex differenzierbar, $f(z)=|z|^
 
 Sind $U, V \subseteq \C$ offen und nichtleer, $f : U \to V$ bij., $f$ und $f^{-1}$ holomorph. Dann heißt $f$ \emph{biholomorph}, $U$ und $V$ \emph{konform äquivalent}.
 
-\vfill\null
-\columnbreak
-
 Sei $f : U \to V$ biholomorph, $z \in U$.
 
 Dann ist $f'(z) \neq 0$ und für $w = f(z)$ gilt:
@@ -195,6 +196,12 @@ Sind die \emph{vertikalen und horizontalen Streifen} in $\C$.
 
 \spacing
 
+$exp : S_r(a_1,a_2) \to B(0,e^{a_2}) \setminus \overline B(0,e^{a_1})$ ist surjektiv.
+
+$exp : S_i(b_1,b_2) \to \{ \omega = te^{i\phi} | t > 0, \phi \in (b_1,b_2) \}$ ist bijektiv.
+
+\spacing
+
 Der \emph{Hauptzweig des Logarithmus} ist die Abbildung $\log = (\restrictedto{\exp}{s_i})^{-1} : \Sigma_\pi \to S_i$.
 
 $\forall w \in \Sigma_\pi : z = \log(w)$ ist eind. $z \in S_i$ mit $\exp(z) = w$.
@@ -281,9 +288,9 @@ $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konv. glm. auf $\Gamma$
 \vspace*{-2mm}
 $$\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n dz$$
 
-Abbildung $H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)$
+\columnbreak
 
-\spacing
+Abbildung $H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)$
 
 $z \mapsto h(z,w) \in H(D)$ mit $\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)$
 
@@ -328,6 +335,8 @@ Seien $D$ sternförmiges Gebiet, $f \in H(D)$ und $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ ges
 \vspace*{-2mm}
 $$\int_\gamma f dz = 0$$
 
+Dies gilt auch für $f \in C(D,\C) \cap H(D\setminus \{\omega_0\})$.
+
 \subsubsection*{Cauchys Integralformeln}
 
 Seien $f \in H(D), \overline B(z_0,r) \subseteq D, n \in \N_0, z \in B(z_0,r)$ und $s := |z-z_0| < r$. Sei $\partial B(z_0,r)$ durch $\gamma(t) = z_0 + re^{it}$ mit $t \in [0,2\pi]$ parametrisiert.
@@ -360,7 +369,7 @@ Sei $f \in H(D)$. Dann ist $f$ analytisch.
 
 Für $\forall z_0 \in D$ sei $R(z_0) := \sup\{r > 0 | B(z_0,r) \subseteq D \}$ der maximale Redius. Zusätzlich sei $\overline r, r \in (0,R(z_0))$. Für $z \in B(z_0, R(z_0)$ ist die Taylorreihe von $f$:
 
-\vspace*{-4mm}
+\vspace*{-6mm}
 \begin{align*}
 f(z) &= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \\
 a_n &= \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw
@@ -413,11 +422,6 @@ Sei $D \subseteq \C$ Gebiet und $f \in H(D)$. Dann sind äquiv.:
 \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 	\item $f = 0$ auf $D$
 	\item $\exists z_0 \in D \forall n \in \N_0 : f^{(n)}(z_0) = 0$
-\end{enumerate}
-
-\columnbreak
-
-\begin{enumerate}[label=(\alph*),resume]
 	\item $\exists z_n, z_0 \in D \forall n \in N : f(z_n) = 0 \land z_n \neq z_0$ \\ Weiterhin gilt $z_n \to z_0 \ (n \to \infty)$
 \end{enumerate}
 
@@ -441,6 +445,10 @@ Sei $f \in H(D), U \subseteq \C$ Gebiet mit $D \subseteq U$.
 
 Dann $\exists! g \in H(U) : \restrictedto{g}{D} = f$.
 
+\spacing
+
+Die \emph{Gammafunktion} $\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt, Re \ z > 0$ hat genau eine holomorphe Fortsetzung auf der Menge $\C \setminus \{ -n | n \in \N_0 \}$.
+
 \subsection*{Nullstelle in $B(z_0,r)$}
 
 Sei $f \in H(D), B := B(z_0,r), r > 0, \overline B \subseteq D$. Weiter:
@@ -542,8 +550,6 @@ Sei $f \in H(D)$ injektiv.
 
 Dann ist $f(D) \subseteq \C$ offen und $f$ ist biholomorph.
 
-\columnbreak
-
 \subsection*{Laurentreihe}
 
 Sei $a_n \in \C$ für $n \in \Z$ und $c \in \C$.
@@ -601,8 +607,6 @@ Hierbei gelte $\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D$.
 
 Seien $f \in H(D)$ und $z_1, \dots, z_n \in \C$ alle isolierten Singularitäten von $f$. Sei $p$ ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in $D$ mit Bild $P$ s.d. alle $z_j$ im von $P$ umschlossenen Gebiet $G$ liegen und $\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D$ ist. Weiterhin sei $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ zu $p$ auf $D$ homotop. Dann:
 
-\columnbreak
-
 \vspace*{-4mm}
 $$\int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j)$$
 
diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex
index 048419c..9298ae9 100644
--- a/content/markov.tex
+++ b/content/markov.tex
@@ -295,3 +295,59 @@ Sei $K$ irreduzible, symmetrische Übergangsmatrix auf $S$. Wählen $P = (p_{ij}
 $$p_{ij} = \begin{cases} K_{ij}\left(\frac{\pi(j)}{\pi(i)} \land 1\right) & i \neq j \\ 1 - \sum_{k \neq i} K_{ik}\left(\frac{\pi(j)}{\pi(i)} \land 1\right) & i=j \end{cases}$$
 
 Dann besitzt die MK mit Übergangsmatrix $P$ die stationäre Verteilung $\pi$.
+
+\section*{Markov-Ketten in stetiger Zeit}
+
+Sei $(N_t)_{t\geq 0}$ Familie messbarer Zufallsvariablen $N_t : \Omega \to \N_0$. Diese bildet \emph{stochastischen Prozess in stetiger Zeit}.
+
+\subsection*{Poisson-Prozess}
+
+Die Familie $(N_t)_{t\geq 0}$ erfülle:
+
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+	\item Alle Pfade $t \mapsto N(t,\omega)$ liegen in $D_0 := \{ f : [0,\infty) \to \N_0 | f(0) = 0, f \uparrow, f \text{ rechtsstetig}\}$.
+	\item $(N_t)_{t\geq0}$ hat unabhängige Zuwächse: $\forall n \in \N \\ \forall 0 \leq t_0 \leq \cdots \leq t_n$ sind $N_{t_0}, N_{t_1}-N_{t_0}, \dots, \\ N_{t_n}-N_{t_{n-1}}$ stochastisch unabhängig
+	\item $(N_t)_{t\geq0}$ hat stationäre Zuwächse d.h. $\forall t > 0$ ist Verteilung $N_{s+t}-N_s$ von $s$ unabhängig
+	\item Ereigniss treten einzeln auf d.h.: \\ $\P(N_h \geq 2) = o(h)$ mit $h \downarrow 0$
+\end{enumerate}
+
+$(N_t)$ hat mit Wahrscheinlichkeit $1$ nur Sprünge der Höhe $1$ und: $\exists \lambda > 0 \forall s, t \geq 0 : N_{s+t}-N_s$ ist Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda t$. Die Zeiten zwischen konsekutiven Sprüngen sind unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter $\lambda$.
+
+Der Prozess $(N_t)$ heißt \emph{Poisson-Prozess} mit $\lambda > 0$.
+
+\subsection*{Markov-Eigenschaft}
+
+Ein stochastischer Prozess $(X_t)_{t\geq0}$ mit abzählbarem Zustandsraum $S$ heißt \emph{(homogene) Markov-Kette}, wenn:
+
+$\forall n \in \N$, $t, h > 0, i_k \in S$ sowie $\forall 0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n$ mit $\P(X_{t_k} = i_k, 0 \leq k \leq n) > 0 : $
+
+\vspace*{-4mm}
+\begin{align*}
+&\P(X_{t_n+h} = i_{n+1} | X_{t_k} = i_k, 0 \leq k \leq n) \\
+&= \P(X_{t_n+h} = i_{n+1} | X_{t_n} = i_n) \\
+&= \P(X_{t+h} = i_{n+1} | X_t = i_n)
+\end{align*}
+
+\subsection*{Intensitätsmatrix}
+
+Sei $\{P(t), t \geq 0\}$ eine \emph{Standardübergangsmatrizen-funktion}. Dann sind alle $p_{ij}(t)$ in $0$ rechtseitig differenzierbar d.h.: $\forall i, j \in S :$
+
+\vspace*{-2mm}
+$$q_{ij} := \lim_{t\downarrow0} \frac{1}{t} (p_{ij}(t) - \delta_{ij})$$
+
+Die Matrix $Q := (q_{ij})$ ist die \emph{Intensitätsmatrix} bzw. der \emph{infinitesimale Erzeuger} von $\{P(t),t \geq 0\}$.
+
+\subsubsection*{Intensitätsmatrix des Poisson-Prozesses}
+
+Für einen Poisson-Prozess $(N_t)$ ergibt sich die Übergangsmatrizenfunktion:
+
+$$p_{ij}(t) = \begin{cases} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^{j-i}}{(j-i)!} & j \geq i \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$$
+
+Demenstsprechend gilt:
+
+\vspace*{-4mm}
+$$\lim_{t\downarrow0} \frac{1}{t} (p_{ij}(t) - \delta_{ij}) = \begin{cases} \lambda & j = i+1 \\ -\lambda & j=i \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$$
+
+Die Intensitätsmatrix des Poisson-Prozesses:
+
+$$Q = \begin{pmatrix} -\lambda & \lambda & 0 & 0 & \cdots \\ 0 & -\lambda & \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & -\lambda & \lambda & \\ \vdots & \vdots & & & \ddots \end{pmatrix}$$