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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index 63327e7..71c6f31 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -145,6 +145,8 @@ $\exists S \in GL_q(K), T \in GL_p(K) : B = T A S$ ($A, B \in K^{p \times q}$) $A, \tilde A \in K^{d \times d}$ ähnlich $\Leftrightarrow \exists S \in GL_d(K) : \tilde A = S^{-1}AS$ +Ähnliche Matrizen haben die gleiche Determinante, Spur und Rang. + \subsection*{Determinante} \begin{enumerate}[label=(\alph*)] @@ -222,6 +224,8 @@ Ist Mächtigkeit der Basis, $dim(V) := |B|$ $U$ Untervektorraum $V$, dann: $dim(U) \leq dim(V)$ +$dim(V) = dim(Kern(\phi)) + dim(Bild(\phi))$ + \subsubsection*{Abbildungsmatrizen} $D_C(\phi(v)) = D_{CB}(\phi) * D_B(v)$ @@ -269,10 +273,17 @@ $\mu_a(\phi, \lambda)$ ist algebraische Vielfachheit von $\lambda$, also die Vie $\phi \in End(V)$ ist diagonalisierbar, wenn eines aus: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $\exists$ Basis $B$ aus Eigenvektoren + \item $\exists$ Basis $B$ von $V$ aus Eigenvektoren von $\phi$ \item $MP_\phi(X)$ zerfällt vollst. in Linearfaktoren + \item $CP_\phi(X)$ zerfällt vollst. in Linearfaktoren und $\forall \lambda \in Spec(\phi) : \mu_g(\phi,\lambda) = \mu_a(\phi, \lambda)$ \end{enumerate} +\subsubsection*{Diagonalisierungsverfahren} + +Eigenwerte und Eigenräume von $\phi$ bestimmen. Eigenwerte in $D_{CC}(\phi) = diag(\lambda_1, \hdots, \lambda_n)$ eintragen. $D_{CC}(\phi)$ ist Abbildungsmatrix von $\phi$ bzgl. Basis $C$ aus Eigenvektoren. $D_{BC}(Id)$ besteht aus Eigenvektoren in Spalten, $D_{CB}(Id) = D_{BC}(Id)^{-1}$. + +Insgesamt: $D_{CC}(\phi) = D_{BC}(Id)^{-1} D_{BB}(\phi) D_{BC}(Id)$. + \section*{Haupträume} $H(\phi, \lambda) = Kern((\phi - \lambda * I_n)^e)$ mit $e := \mu_a(\phi, \lambda)$. @@ -306,6 +317,23 @@ Basis $B := \{b_1, ..., b_n\}$ ist Orthogonalbasis von $V$ bzgl. $P$, wenn: $\fo Orthogonalbasis $B$ ist Orthonormalbasis von $V$ bzgl. $P$, wenn: $\forall 1 \leq i \leq n : P(b_i, b_i) = 1$ +\section*{Jordansche Normalform $\tilde A = T^{-1} A T$} + +\subsection*{Darstellungsmatrix $\tilde A$ bzgl. Jordanbasis} + +\begin{enumerate}[leftmargin=4mm] + \item Eigenwerte aus char. Polynom bestimmen + \item Länge des Blocks zu Eigenwert ist $\mu_a(\lambda)$ + \item Anzahl Kästchen pro Block ist $\mu_g(\lambda)$ + \item Kleinstes $p$ mit $Kern((A-\lambda I)^p) = Kern((A-\lambda I)^{p+1})$ ist Länge des größten Kästchens zu $\lambda$ + \item Kästchen der Größe nach sortieren, Eigenwerte auf Hauptdiagonale + \item Anzahl der Jordankästchen mit Größe $s$ ergibt sich aus $2a_s - a_{s-1} - a_{s+1}$ mit $a_s = dim(Kern((A-\lambda I)^s))$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Bestimmung Basiswechselmatrix $T$} + +Reichen die Eigenvektoren nicht aus, können Hauptvektoren hinzugezogen werden. Dazu wähle Hauptvektor $v_1$ $p$-ter Stufe wobei $p$ Länge des größten Kästchens zu $\lambda$ ist. $v_1$ kann direkt verwendet werden, weitere Vektoren ergeben sich als $v_{i+1} = (A-\lambda I)*v_i$. + \section*{Skalarprodukte} \subsection*{Standardskalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$} @@ -469,3 +497,4 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $A \neq \emptyset$ und $\tau : V \times A \rightarro \item $\forall P \in A \forall v_1, v_2 \in V : \\ \hspace*{5mm} \tau(v_1, \tau(v_2, P)) = \tau((v_1 + v_2), P)$ \item $\forall P, Q \in A \exists ! v \in V : \tau(v, P) = Q$ \end{enumerate} + |