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diff --git a/content/statistik.tex b/content/statistik.tex index fc922c0..4d5e818 100644 --- a/content/statistik.tex +++ b/content/statistik.tex @@ -1,13 +1,55 @@ \renewcommand{\N}{\mathcal{N}} +\newcommand{\1}{\mathbbm{1}} +\newcommand{\uiv}{\stackrel{\text{uiv}}{\sim}} -\section*{Grundlagen} +\subsection*{Normalverteilung} Dichte der Normalverteilung \(\N(\mu, \sigma^2)\): -\[ f(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \] +\[ f(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \] Verteilungsfkt. der Normalverteilung: \[ \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{1}{2} t^2\right) dt \] +\subsection*{Gamma-Verteilung} + +Dichte der Verteilung \(\Gamma(\alpha,\beta)\) für \(\alpha,\beta > 0\): +\[ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \exp(-\beta x) x^{\alpha-1} \1_{(0,\infty)}(x) \] +Mit Momenten: +\[ EX^r = \frac{\Gamma(\alpha + r)}{\beta^r \Gamma(\alpha)} \text{ für } r > -\alpha \] +Insb. also \(EX = \frac{\alpha}{\beta}\). + +\(cX \sim \Gamma(\alpha,\frac{\beta}{c})\) für \(c > 0\) und \(X \sim \Gamma(\alpha,\beta)\). + +Faltungsformel für \(X \sim \Gamma(\alpha_1,\beta), Y \sim \Gamma(\alpha_2,\beta)\): +\[ X + Y \sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2, \beta) \] + +\subsubsection*{Gamma-Funktion} + +\[ \Gamma(t) = \int_0^\infty \exp(-x) x^{t-1} dx \text{ für } t > 0 \] + +Insb. \(\Gamma(t+1) = t\Gamma(t)\) und \(\Gamma(n+1) = n!\) für \(n \in \mathbb{N}_0\). + +\subsection*{\(\chi^2\)-Verteilung} + +Sei \(N_1,\dots,N_k \uiv \N(0,1)\). +\[ Y:=N_1^2+\dots+N_k^2 \in \chi_k^2 \] +Mit Dichte für \(y > 0\): +\[ f(y) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \exp\left(-\frac{y}{2}\right) y^{k/2-1} \] +Und Erwartungswert (\(EY^r = \infty\) für \(r\leq -k/2\)): +\[ EY^r = \frac{2^r \Gamma(r+k/2)}{\Gamma(k/2)} \text{ für } r > -\frac{k}{2} \] +Insb. also \(EY = k\) und \(VY = 2k\). + +\subsection*{\(t\)-Verteilung} + +Sei \(N \sim \N(0,1)\) unabhg. \(X \sim \chi_k^2\). +\[ Y := \frac{N}{\sqrt{X/k}} \sim t_k \] +Mit \(EY = 0\) für \(k \geq 2\) und \(VY=\frac{k}{k-2}\) für \(k \geq 3\). + +\subsection*{\(F\)-Verteilung} + +Sei \(R \sim \chi_r^2\) unabhg. \(S \sim \chi_s^2\). +\[ Y:= \frac{\frac{1}{r} R}{\frac{1}{s} S} \sim F_{r,s} \] + \subsection*{Starkes Gesetz großer Zahlen (SGGZ)} Sei \(Y_1,Y_2,\dots\) Folge uiv. ZV mit EW, dann: @@ -81,6 +123,22 @@ Diese hat EW: \(E_\upsilon(U_\upsilon(X_1)) = 0\). Die Varianz der Scorefunktion: \[ I(\upsilon) = V_\upsilon(U_\upsilon) = E_\upsilon(U_\upsilon^2) = -E\left[ \partial_\upsilon^2 \log f(X_1,\upsilon) \right]\] +\subsubsection*{Score-Gleichung} + +Notwendige Bedingung für ML-Schätzer \(\hat\upsilon\): +\[\sum_{i=1}^n \partial_\upsilon \log f(x_i,\upsilon) = 0 \] + +Für jede konsistente Folge von Lsg. dieser Gl. gilt die Verteilungskonvergenz: +\[ \sqrt{n}(\hat\upsilon_n - \upsilon_0) \to \N(0, 1/I(\upsilon_0)) \] + +\subsubsection*{Asymptotische Effizienz} + +Sei \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) Schätzfolge für \(\upsilon_0\) mit: +\[\sqrt{n}(T_n - \upsilon_0) \to \N(0,\sigma^2) \] +Dann ist die \emph{asymptotische Effizienz} geg. als: +\[ e(T_n) = \frac{1/I(\upsilon_0)}{\sigma^2} \] +Schätzfolge ist \emph{asymptotisch effizient} für \(e(T_n)=1\). + \subsection*{Cram\'er-Rao-Ungleichung} Erfüllen \(X_1,\dots,X_n \sim f(x,\upsilon)\) die Regularitätsbed.: @@ -97,4 +155,43 @@ Sei \(T(X_1,\dots,X_n\) Schätzer für \(\gamma(\upsilon)\) mit zweimal unter In Schätzer \(T\) nimmt Cram\'er-Rao-Schranke an. +\section*{Konfidenzintervalle} + +Sei \(X_1,\dots,X_n \uiv \N(\mu,\sigma^2)\) für bekannte \(\sigma^2\): +\[ I := \left[ \overline x_n - \frac{\sigma z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}, \overline x_n + \frac{\sigma z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}} \right] \] +Dann \(P_\mu(\mu \in I) = 1-\alpha\). + +\subsection*{Konstruktionsprinzip} + +\begin{enumerate} + \item Finde \emph{Pivot} ZV \(\Z\) unabhg. \(\upsilon\) + \item Bestimme \(a, b\) s.d. \(P(a \leq Z \leq b) = 1-\alpha\) + \item Löse zu gesuchtem \(g(\upsilon)\) auf +\end{enumerate} + +\subsection*{Wald-Intervall} + +Sei \(X_1,\dots,X_n \uiv \text{Bin}(1,p)\) und \(\hat p_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\). + +Approximatives Konfidenzintervall für \(p\): +\[ \left[\hat p_n - \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n}} \sqrt{\hat p_n (1-\hat p_n)}, \hat p_n + \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n}} \sqrt{\hat p_n (1-\hat p_n)}\right] \] + +\section*{Satz von Student} + +Sei \(X_1,\dots,X_n \uiv \N(\mu,\sigma^2)\) für \(n \geq 2\). Dann gelten: +\[ \overline X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \sim \N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \] + +\(\overline X\) ist unabhg. \(S^2 := \frac{1}{n-1} \sum_{i_1}^n (X_i-\overline X)^2\). + +\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2 \] + +\[ T = \frac{\sqrt{n}(\overline X - \mu)}{S} \sim t_{n-1} \] + +\subsection*{Konfidenzintervall für \(\mu\)} + +Sei \(X_1,\dots,X_n \uiv \N(\mu,\sigma^2\) für unbekannte \(\mu, \sigma^2\). +\[ P_\upsilon\left(\left|\frac{\sqrt{n}(\overline X - \mu)}{S}\right| \leq t_{n-1;1-\alpha/2}\right) = 1-\alpha \] + +\[ \mu \in \left[\overline X - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{n-1;1-\alpha/2}, \overline X + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{n-1;1-\alpha/2} \right] \] + \section*{Tests} |