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diff --git a/content/optimierungstheorie.tex b/content/optimierungstheorie.tex index d89da9f..ff893c7 100644 --- a/content/optimierungstheorie.tex +++ b/content/optimierungstheorie.tex @@ -432,3 +432,33 @@ Sei \((P)\) konvexes Problem mit dualem \((D)\) und \(M\) erfülle (SB). Für \(\hat x, (\hat u,\hat v)\) des konvexen Kuhn-Tucker gilt die \emph{Komplementaritätsbedingung}: \(\hat u^\top h(\hat x) = 0\) +\section*{Differenzierbare Optimierung} + +\[(P) \ \min f \text{ auf } M = \{ x \in \R^n | h(x) \leq 0, g(x)=0\}\] + +\(f \in C^1(\R^n,\R), h \in C^1(\R^n,\R^n), g \in C^1(\R^n,\R^m)\). + +\subsection*{Lagrangesche Multiplikatorenregel} + +Ziel: Linearisierung und Anw. von Kuhn-Tucker. + +Mit \((\nabla f(x))^\top = f'(x) \in \R^{1 \times n}, f'(x) \in \R^{m \times n}\) und \(h'(x) \in \R^{p \times n}\) sind Linearisierungen gegeben: +\begin{align*} +f(x+z) &= f(x) + f'(x)z + o(\|z\|) \\ +g(x+z) &= g(x) + g'(x)z + o(\|z\|) \\ +h(x+z) &= h(x) + h'(x)z + o(\|z\|) +\end{align*} + +Linearisierung von \((P)\): \[(LP) \ \min f'(x)z\] + +auf \(M_L = \{ z \in \R^n | h(x) + h'(x)z \leq 0, g'(x)z = 0 \}\) + +\subsubsection*{Zulässige Abstiegsrichtung} + +Sei \(M \in \R^n\) und \(f : M \to \R\) dann ist \(z \in \R^n\) \emph{zulässige Abstiegsrichtung} zu \(f\) in \(x \in M\), wenn \(\exists \epsilon > 0 \forall t \in (0,\epsilon) : x + tz \in M \land f(x+tz) < f(x)\). + +\subsubsection*{Kegel} + +Sei \(M = \{x \in \R^n | h(x) \leq 0\}\) mit \(h \in C^1(\R^n,\R^p)\). + +\(T(x,M) := \{ z \in \R^n | \exists t_k \geq 0, z^{(k)} \in \R^n : t_k \to 0, z^{(k)} \to z \ (k \to \infty), \forall k \in \N : x+t_k z^{(k)} \in M\}\) |